مقاله حل مسایل مقدار اولیه-مرزی دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه بالا غیرخطی بوسیله شبكه های عصبی مصنوعی پیشخور

مقاله حل مسایل مقدار اولیه-مرزی دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه بالا غیرخطی بوسیله شبكه های عصبی مصنوعی پیشخور در 14 صفحه ورد قابل ویرایش 

مقاله چند بعدی

حل مسایل مقدار اولیه- مرزی دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه بالا غیر خطی بوسیله شبكه های عصبی مصنوعی پیشخور.

چكیده

در این مقاله روش جدید عمومی برای حل علمی مسایل مقدار اولیه- مرزی دستگاه معادلات جزئی بخصوص مراتب بالا و غیرخطی در یك ابرمكعب سیلندری ارائه می شود. این روش یك روش مش- فری بوده و جدایی بفرم بسته تحلیلی تولید میكند. تركیبی از مفاهیم شبكه های عصبی مصنوعی و ابزارهای بهینه سازی چند بعدی در این روش بكار میرود. بوسیله مفاهیم تقریب توابع چندمتغیر، وابسته به مباحث شبكه های عصبی مصنوعی پیشخوار و نیز بكمك هم محلی در نقاطی مشخص، حل مسئله مقدار اولیه- مرزی به مسئله بهینه سازی نامتغیر یك تابع انرژی تبدیل میگردد. بعبارت دقیقتر یك جواب آزمون عصبی برای مسئله مقدار اولیه- مرزی متشكل از مجموع دو قسمت در نظر میگریم: قسمت اول در شرایط اولیه- مرزی (زمانی- فضایی) صدق میكند، درحالیكه قسمت دوم شامل متغیرهای لازم برای مینیمم سازی تابع خطای مسئله میباشد و بكمك یك شبكه عصبی سه لایه و پیشخور شبیه سازی گشته و برای صدق در دستگاه معادلات دیفرانسیل مسئله آموزش میبیند. این روش را میتوان بعنوان تعمیمی مناسب از روشهای معینی در نظر گرفت. كاربرد این روش جدید صرفنظر از نوع شرایط اولیه- مرزی در دامنه ای از یك معادله دیفرانسیل معمولی تا دستگاهی از معادلات دیفرانسیل جزئی متغیر است.

كلمات كلیدی:

دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی وابسته بزمان- مسایل مقدار اولیه- مرزی- شبكه های مصنوعی پیشخور- یادگیری نظارت بهینه سازی نامقید چندبعدی.

1.مقدمه:

در علوم مهندسی اغلب سیستمهای دنیای واقعی كه با معادلات دیفرانسیل توصیف شده اند، شامل چندین شرط اولیه یا مرزی وابسته به شرایط فیزیكی مسئله نیز میباشند. مهمترین شاخص در مورد هر مسئله مقدار اولیه- مرزی برای یك دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی عبارتست از خوش‌خیمی آن یعنی وجود و یكتایی جواب مسئله بسته بنوع معادلات و نیز نوع شرایط اولیه- مرزی قابل بحث است. مانند سایر مسایل روشهای زیادی هر چند مشكل، برای حل غیرتحلیلی چنین مسایلی وجود دارد از قبیل روشهای جداسازی متغیرها، تبدیلات انتگرالی، تغییر مختصات، تغییر متغییر وابسته، معادلات انتگرال و . . . ارزش این روشها زمانی مشخص تر میشود كه برای مسایلی بكار بروند كه جواب تحلیلی نداشته یا جواب تحلیلی‌شان مستقیما قابل محاسبه نباشد. این ارزش در صورت توانایی بكارگیری روش برای دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی (وابسته بزمان) از مراتب بالا و غیرخطی، دوچندان میشود.

در ریاضیات كاربردی عبارتند از همگرایی، پایدار علمی، سازگاری و خوشحالی عددی آنها. سه دسته مجزا برای این روشهای حل غیرتحلیلی میتوان در نظر گرفت: روشهای تغییراتی، روشهای بسطی و روشهای علمی. در روشهای تغییراتی معادلات دیفرانسیل مسئله را بهمراه شرایط اولیه- مرزی آن بیك مسئله مینیمم سازی تابعكی مناسب در یك فضای تابعی تبدیل كرده و با حل این مسئله بهینه سازی جواب مسئله اصلی را بدست میاوریم. مهمترین مشكل چنین روشهایی تعریف مناسب تابعكهای مورد نیاز میباشد.

در روشهای بسطی (طیفی و شبه طیفی) مانند روشهای هم محلی و گالركین یا روشهای سری فوریه، سری وزنوله متناهی جواب تقریبی مسئله را بكمك یك دسته از توابع پایه ای (چندجمله ایهای متعامد) در نظر گرفته و با تحویل مسئله اصلی بیك دستگاه معادلات (خطی) ضرایب مجهول سری مذكور را بدست میاوریم مهمترین مشكلات این روشها نحوه انتخاب توابع پایه ای و چگونگی محاسبه ضرایب مجهول، میباشد.

مهمترین كاربردهای انواع مختلف شبكه های عصبی عبارتند از: تشخیص گفتار، پردازش تصویر، سیستم كنترل، هوش مصنوعی، تشخیص چهره، جریان سیالات، سریهای زمانی، سیستمهای دینامیكی و . . . .

مراجع متفاوتی شامل منابع نرم افزاری متنوع در مورد تئوری، ریاضیات، مدلسازی، الگوریتم، طراحی، معماری و كاربردهای شبكه های عصبی مصنوعی وجود دارد كه برای مطالعه بیشتر میتوان بدانها مراجعه نمود.

شبكه های عصبی از واحدی محاسباتی بنام عصب تشكیل شده اند. هر عصب تعدای ورودی غددی دارد. درون عصب هر ورودی در ضریب عصبی متناظرش كه بنانگر ارزش آنست ضرب شده و مجموع همه این مضارب با مقداری بنام اریب جمع میشود. نهایتاً تابع تحریك روی این مجموع اثر گذاشته و خروجی حقیقی عصب را بطور پیشخور تعیین میكند.

معمولا در اكثر كاربردها حداقل شرایط برای شكل تابع تحریك در كلیترین حالت عبارتست از اس- شكل (زیگموئید) تعمیم یافته بودن، یعنی یكنو (غیر تروپی) بودن تابع و اینكه حد تابع تحریك در مثبت و منفی بینهایت متنهای باشد. دو نوع مناسب از چنین توابعی، تانژانست هیپربولیك و اوژستیك با ضابطه میباشد كه ما در استفاده از مورد دوم قرار میدهیم.

در چنین سازمانی برای عصب منظور از یادگیری عبارتست از تعیین مقادیر عددی بهینة ضرایب عصبی، بنحویكه با معلوم بودن ورودیها، خروجی عصب قابل محاسبه باشد. اولین روش یادگیری برای مدل عصبی مذكور به قانون یادگیری عصب معروفست. كه چون براساس مینیمم سازی میزان اختلاف بین مقادیر محاسبه شده و مطلوب خروجی عصب كار میكند، یادگیری با سرپرست نامیده میشود. قدرت اصلی شبكه های عصبی، نشأت میگیرد. ساده ترین توپولوژی شبكه های عصبی بصورت گروهی از عصبهاست كه در یك لایه سامان داده شده و یك یا چند ورودی مشترك دارند و شبكه تك لایه یا پرسپترون نامیده میشوند. (ممكن است خروجی یك عصب وردی عصب یا عصبهای دیگر بوده و شبكه بازگشتی باشد.)

معماری شبكه های عصبی چند لایه از چند شبكه تك لایه بصورت آبشاری بدنبال هم قرار گرفته اند و عصبهای لایه های متوالی حداقل یك ورودی (خروجی) مشترك دارند، تشكیل میشود. در شبكه های عصبی چند لایه و پیشخور كه در این مقاله در نظر گرفته میشوند، بازگشتی وجود نداشته و خروجیهای عصبهای هر لایه ورودیهای عصبهای لایه بعدی را تشكی میدهند. چنین شبكه ای از عصبها پرسپرترون چند لایه نامیده میشود. در معماری پرسپترونهای چند لایه، عصبهایی كه به ورودیها متصلند لایه ورودی، عصبهایی كه به خروجیها متصلند لایه خروجی و سایر عصبها لایه های میانی (پنهان) را تشكیل میدهند. بدین ترتیب چنین شبكه ای میتواند یك نكاشت غیرخطی از ورودیها به خروجیها برقرار كند. بعبارت دیگر شبكه‌های عصبی پیشخور بصورت یك جعبه سیاه توانایی برقراری ارتباطی نامعین بین ورودیها و خروجیهای یك سیستم را دارا میباشند و ایم امر مناسبست برای تحلیل سیستمهایی كه با مسایل مقدار اولیه- مرزی توصیف شده اند كه جواب تحلیلی نداشته یا جواب تحلیلی شان بسادگی قابل محاسبه نیست.